3.2. Постройте график функции y = x|x| + 2|x| - 4x. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x|x| + 2|x| - 4x$$. Два случая для модуля:

• Случай 1: $$x \ge 0$$. Функция: $$y = x(x) + 2(x) - 4x = x^2 + 2x - 4x = x^2 - 2x$$.
• Случай 2: $$x < 0$$. Функция: $$y = x(-x) + 2(-x) - 4x = -x^2 - 2x - 4x = -x^2 - 6x$$.

Найдем вершины парабол:

• Парабола $$x^2 - 2x$$ (при $$x \ge 0$$): Вершина при $$x = -\frac{-2}{2(1)} = 1$$. Значение $$y$$: $$y = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$. Вершина: $$(1, -1)$$.
• Парабола $$-x^2 - 6x$$ (при $$x < 0$$): Вершина при $$x = -\frac{-6}{2(-1)} = -3$$. Значение $$y$$: $$y = -(-3)^2 - 6(-3) = -9 + 18 = 9$$. Вершина: $$(-3, 9)$$.

Проверим точку стыка ($$x=0$$):

• При $$x=0$$ из первой части: $$y = (0)^2 - 2(0) = 0$$.
• При $$x=0$$ из второй части: $$y = -(0)^2 - 6(0) = 0$$. Точка стыка: $$(0, 0)$$.

График состоит из двух ветвей парабол. Нас интересуют точки, где горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает график ровно в двух точках.

Анализ графика:

• Ветвь при $$x \ge 0$$ ($$y = x^2 - 2x$$) — это часть параболы с минимумом в точке $$(1, -1)$$.
• Ветвь при $$x < 0$$ ($$y = -x^2 - 6x$$) — это часть параболы с максимумом в точке $$(-3, 9)$$.

Чтобы получить две точки пересечения:

• Если $$m$$ находится между локальным минимумом $$(1, -1)$$ и точкой стыка $$(0, 0)$$, то есть $$-1 < m < 0$$, линия $$y=m$$ пересечет первую ветвь в двух точках.
• Если $$m$$ находится между локальным максимумом $$(-3, 9)$$ и точкой стыка $$(0, 0)$$, то есть $$0 < m < 9$$, линия $$y=m$$ пересечет вторую ветвь в двух точках.
• Если $$m = 9$$ (максимум второй ветви), линия $$y=m$$ будет касаться вершины $$(-3, 9)$$ и пересечет первую ветвь в одной точке.
• Если $$m = -1$$ (минимум первой ветви), линия $$y=m$$ будет касаться вершины $$(1, -1)$$ и пересечет вторую ветвь в одной точке.

Таким образом, для двух точек пересечения $$m$$ должно быть в интервалах $$(-1, 0)$$ или $$(0, 9)$$.

Ответ: $$m \in (-1, 0) \cup (0, 9)$$.