2.2. Постройте график функции y = x^2 - 7x - 2|x - 3| + 5. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 7x - 2|x - 3| + 5$$. Два случая для модуля:

• Случай 1: $$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$$. Функция: $$y = x^2 - 7x - 2(x - 3) + 5 = x^2 - 7x - 2x + 6 + 5 = x^2 - 9x + 11$$.
• Случай 2: $$x - 3 < 0 \implies x < 3$$. Функция: $$y = x^2 - 7x - 2(-(x - 3)) + 5 = x^2 - 7x + 2x - 6 + 5 = x^2 - 5x - 1$$.

Найдем вершины парабол:

• Парабола $$x^2 - 9x + 11$$ (при $$x \ge 3$$): Вершина при $$x = -\frac{-9}{2(1)} = 4.5$$. Значение $$y$$: $$y = (4.5)^2 - 9(4.5) + 11 = 20.25 - 40.5 + 11 = -9.25$$. Вершина: $$(4.5, -9.25)$$.
• Парабола $$x^2 - 5x - 1$$ (при $$x < 3$$): Вершина при $$x = -\frac{-5}{2(1)} = 2.5$$. Значение $$y$$: $$y = (2.5)^2 - 5(2.5) - 1 = 6.25 - 12.5 - 1 = -7.25$$. Вершина: $$(2.5, -7.25)$$.

Проверим точку стыка ($$x=3$$):

• При $$x=3$$ из первой части: $$y = (3)^2 - 9(3) + 11 = 9 - 27 + 11 = -7$$.
• При $$x=3$$ из второй части: $$y = (3)^2 - 5(3) - 1 = 9 - 15 - 1 = -7$$. Точка стыка: $$(3, -7)$$.

График состоит из двух ветвей парабол, направленных ветвями вверх. Нас интересуют точки, где горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает график три раза.

Это может произойти, когда линия $$y=m$$ проходит через:

• Локальный минимум одной из парабол, при условии, что эта линия пересечет другую часть графика.

Локальные минимумы:

• Первая парабола ($$x^2 - 9x + 11$$) имеет вершину $$(4.5, -9.25)$$.
• Вторая парабола ($$x^2 - 5x - 1$$) имеет вершину $$(2.5, -7.25)$$.

Анализ графика:

Нам нужно, чтобы прямая $$y=m$$ пересекала график ровно в трех точках. Это возможно, если прямая пройдет через:

• Минимум первой параболы $$(4.5, -9.25)$$. При $$m = -9.25$$, прямая будет касаться этой вершины и пересечет вторую параболу в двух точках (так как $$-7.25 > -9.25$$).
• Точку стыка $$(3, -7)$$. При $$m = -7$$, прямая пройдет через точку стыка и пересечет вторую параболу в еще одной точке (кроме той, что уже является вершиной).

Таким образом, $$m=-9.25$$ и $$m=-7$$.

Ответ: $$m=-9.25$$, $$m=-7$$.