1.12. \(\int\) \(\frac{x^2 - 3x^3 + 2x^7}{x}\) dx

Решение:

Для решения интеграла \( \int \frac{x^2 - 3x^3 + 2x^7}{x} dx \) сначала разделим каждый член числителя на \( x \):

\[ \frac{x^2}{x} - \frac{3x^3}{x} + \frac{2x^7}{x} = x - 3x^2 + 2x^6 \]

Теперь интегрируем полученное выражение:

\[ \int (x - 3x^2 + 2x^6) dx = \int x dx - 3 \int x^2 dx + 2 \int x^6 dx \]

Применяем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^7}{7} + C \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{2}x^2 - x^3 + \frac{2}{7}x^7 + C \]

Ответ: \( \frac{1}{2}x^2 - x^3 + \frac{2}{7}x^7 + C \).