1.18. \(\int\) \(\frac{2}{x} + 8e^x + 5^x - x^{\frac{2}{3}}\) dx

Решение:

Интегрируем по членам:

\[ \int (\frac{2}{x} + 8e^x + 5^x - x^{\frac{2}{3}}) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int 8e^x dx + \int 5^x dx - \int x^{\frac{2}{3}} dx \]

Используем известные правила интегрирования:

\[ \int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln|x| \]

\[ \int 8e^x dx = 8 \int e^x dx = 8e^x \]

\[ \int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} \]

\[ \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} \]

Собираем все вместе:

\[ 2\ln|x| + 8e^x + \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C \]

Ответ: \( 2\ln|x| + 8e^x + \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C \).