1.17. \(\int\) \(\frac{5}{25+x^2}\) dx

Решение:

Для решения интеграла \( \int \frac{5}{25+x^2} dx \) вынесем \( 25 \) из знаменателя:

\[ \frac{5}{25+x^2} = \frac{5}{25(1+\frac{x^2}{25})} = \frac{5}{25(1+(\frac{x}{5})^2)} = \frac{1}{5(1+(\frac{x}{5})^2)} \]

Теперь интеграл выглядит так:

\[ \int \frac{1}{5(1+(\frac{x}{5})^2)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{1+(\frac{x}{5})^2} dx \]

Мы знаем, что \( \int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan(u) + C \). Сделаем замену \( u = \frac{x}{5} \), тогда \( du = \frac{1}{5} dx \), что означает \( dx = 5 du \).

Подставляем:

\[ \frac{1}{5} \int \frac{1}{1+u^2} (5 du) = \frac{1}{5} \cdot 5 \int \frac{1}{1+u^2} du = \int \frac{1}{1+u^2} du \]

Интегрируем:

\[ \arctan(u) + C \]

Возвращаемся к переменной \( x \):

\[ \arctan(\frac{x}{5}) + C \]

Ответ: \( \arctan(\frac{x}{5}) + C \).