1.20. \(\int\) \(\frac{1}{2}\sin x + \sqrt[4]{x^7}\) dx

Решение:

Интегрируем по членам:

\[ \int (\frac{1}{2}\sin x + \sqrt[4]{x^7}) dx = \int \frac{1}{2}\sin x dx + \int x^{\frac{7}{4}} dx \]

Используем известные правила интегрирования:

\[ \int \frac{1}{2}\sin x dx = \frac{1}{2} \int \sin x dx = \frac{1}{2}(-\cos x) = -\frac{1}{2}\cos x \]

\[ \int x^{\frac{7}{4}} dx = \frac{x^{\frac{7}{4}+1}}{\frac{7}{4}+1} = \frac{x^{\frac{11}{4}}}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}x^{\frac{11}{4}} \]

Собираем все вместе:

\[ -\frac{1}{2}\cos x + \frac{4}{11}x^{\frac{11}{4}} + C \]

Ответ: \( -\frac{1}{2}\cos x + \frac{4}{11}x^{\frac{11}{4}} + C \).