1.167. Сандарды салыстырыңдар: 1) √17 − √15 және √7 − √5; 2) √(3 + √(5 + √8)) және 1 + √2.

1. Екі айырма да оң. Салыстырып квадраттаймыз: \((\sqrt{17}-\sqrt{15})^2=32-2\sqrt{255}\), ал \((\sqrt7-\sqrt5)^2=12-2\sqrt{35}\). Біріншісі үлкен екенін көрсету үшін \(10>2(\sqrt{255}-\sqrt{35})\) керек; квадраттау арқылы бұл теңсіздік \(\sqrt{8925}<75\)-ке, яғни \(8925<5625\)-ке әкелмейді, сондықтан бұл жол дұрыс бағытты растамайды. Тікелей жуық мәндер: \(\sqrt{17}-\sqrt{15}\approx0.254\), \(\sqrt7-\sqrt5\approx0.409\). Демек, \(\sqrt{17}-\sqrt{15}<\sqrt7-\sqrt5\).

2. \(\sqrt8=2\sqrt2\). Ішкі өрнек үшін \(5+2\sqrt2=(\sqrt3+\sqrt2)^2\), сондықтан \(\sqrt{5+\sqrt8}=\sqrt3+\sqrt2\). Салыстырылатын бірінші сан — \(\sqrt{3+\sqrt3+\sqrt2}\). Екі жақ оң; квадраттаймыз. \((1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2\), ал \(3+\sqrt3+\sqrt2<3+2\sqrt2\), себебі \(\sqrt3<\sqrt2+1\). Сондықтан \(\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt8}}<1+\sqrt2\).

Жауабы: 1) \(\sqrt{17}-\sqrt{15}<\sqrt7-\sqrt5\); 2) \(\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt8}}<1+\sqrt2\).