1.21В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН - высота, АВ = 20, a cos ∠A = 0,25. Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \cos \angle A = \frac{AC}{AB} \). Следовательно, \( AC = AB \cdot \cos \angle A = 20 \cdot 0,25 = 5 \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin \angle A = \frac{BC}{AB} \). Значит, \( \sin \angle A = \sqrt{1 - \cos^2 \angle A} = \sqrt{1 - 0,25^2} = \sqrt{1 - 0,0625} = \sqrt{0,9375} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Тогда \( BC = AB \cdot \sin \angle A = 20 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 5\sqrt{15} \).

Площадь треугольника ABC равна \( S = \frac{1}{2} AB \cdot CH \) и \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \).

\( AB \cdot CH = AC \cdot BC \)

\( 20 \cdot CH = 5 \cdot 5\sqrt{15} = 25\sqrt{15} \)

\( CH = \frac{25\sqrt{15}}{20} = \frac{5\sqrt{15}}{4} \)

В прямоугольном треугольнике ACH, \( AH^2 = AC^2 - CH^2 = 5^2 - (\frac{5\sqrt{15}}{4})^2 = 25 - \frac{25 \cdot 15}{16} = 25 - \frac{375}{16} = \frac{400 - 375}{16} = \frac{25}{16} \).

\( AH = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1,25 \)

Ответ: 1,25