2.3 На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{u} \) и \( \vec{m} \). Найдите длину вектора \( 5\vec{u} - 4\vec{m} \).

Решение:

По координатной плоскости определим координаты векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{m} \).

Вектор \( \vec{u} \) начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке (2, 4). Значит, \( \vec{u} = (2; 4) \).

Вектор \( \vec{m} \) начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке (3, 1). Значит, \( \vec{m} = (3; 1) \).

Теперь найдём вектор \( 5\vec{u} - 4\vec{m} \):

\( 5\vec{u} = 5(2; 4) = (10; 20) \)

\( 4\vec{m} = 4(3; 1) = (12; 4) \)

\( 5\vec{u} - 4\vec{m} = (10 - 12; 20 - 4) = (-2; 16) \)

Найдем длину этого вектора:

\( |5\vec{u} - 4\vec{m}| = \sqrt{(-2)^2 + 16^2} \)

\( |5\vec{u} - 4\vec{m}| = \sqrt{4 + 256} \)

\( |5\vec{u} - 4\vec{m}| = \sqrt{260} \)

\( \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65} \)

Ответ: \( 2\sqrt{65} \)