1.30. 1) $\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\x+y-3\sqrt{xy}=1;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac1x,\\y^2-x-9=0;\end{cases}$ 3) $\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.30. 1) $\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\x+y-3\sqrt{xy}=1;\end{cases}$ 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$. Тогда $a+b=4$, а $a^2+b^2-3ab=1$. Подставляя $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$, получаем $16-5ab=1$, то есть $ab=3$. Числа $a,b$ — корни уравнения $t^2-4t+3=0$, поэтому $(a,b)=(1,3)$ или $(3,1)$. Ответ: $(x,y)=(1,9),(9,1)$.
Область допустимых значений: $x\ne0$, $y\ne\pm1$. Первое уравнение даёт $\dfrac{2}{y^2-1}=\dfrac1x$, поэтому $2x=y^2-1$. Из второго $x=y^2-9$. Приравнивая выражения для $x$, получаем $y^2=17$, откуда $x=8$. Ответ: $(8,\sqrt{17}),(8,-\sqrt{17})$.
Используем $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Тогда $x^2-xy+y^2=7$. Из $(x+y)^2=25$ следует $25-3xy=7$, значит $xy=6$. Числа $x,y$ имеют сумму 5 и произведение 6, поэтому это 2 и 3. Ответ: $(2,3),(3,2)$.

1.30. 1) \(\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\x+y-3\sqrt{xy}=1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\dfrac{1}{y-1}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac1x,\\y^2-x-9=0;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x+y=5,\\x^3+y^3=35.\end{cases}\)