1.34. 1) $\begin{cases}xy=36,\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=5;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{xy},\\x+y=20.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.34. 1) $\begin{cases}xy=36,\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=5;\end{cases}$ 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$. Тогда $a+b=5$ и $ab=\sqrt{xy}=6$. Значит, $a,b$ — числа 2 и 3. Ответ: $(x,y)=(4,9),(9,4)$.
Пусть $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$, где $a,b\ge0$. Тогда $a-b=2ab$, а $a^2+b^2=20$. Обозначим $p=ab$, $q=a+b$. Из $(a-b)^2=4p^2$ получаем $q^2=20+2p$; также $q^2=(a-b)^2+4p^2$ даёт то же соотношение лишь при прямой подстановке: $a^2+b^2=q^2-2p=20$, следовательно $q^2=20+2p$, и $(a-b)^2=q^2-4p=20-2p=4p^2$. Поэтому $2p^2+p-10=0$, откуда $p=2$ (второй корень отрицателен). Тогда $q=\sqrt{24}=2\sqrt6$, $a-b=4$, и $a=\sqrt6+2$, $b=\sqrt6-2$. Следовательно, $x=(\sqrt6+2)^2=10+4\sqrt6$, $y=(\sqrt6-2)^2=10-4\sqrt6$. Ответ: $(10+4\sqrt6,10-4\sqrt6)$.

1.34. 1) \(\begin{cases}xy=36,\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{xy},\\x+y=20.\end{cases}\)