1.35. 1) $\begin{cases}x^3+y^3=1,\\x+y=1;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}x^2+xy=12,\\xy-y^2=2;\end{cases}$ 3) $\begin{cases}x^3-y^3=8,\\x-y=2.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.35. 1) $\begin{cases}x^3+y^3=1,\\x+y=1;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}x^2+xy=12,\\xy-y^2=2;\end{cases}$ 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

По формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$. Подставляем $x+y=1$: $1-3xy=1$, значит $xy=0$. Ответ: $(0,1),(1,0)$.
Положим $u=x+y$, $v=x-y$. Тогда первое уравнение даёт $u^2+uv=24$, второе — $uv-v^2=4$. Вычитая второе равенство из первого, получаем $u^2+v^2=28$. Обозначим $A=u^2$, $B=v^2$. Тогда $A+B=28$, а из $uv=24-A$ следует $(24-A)^2=AB=A(28-A)$. Отсюда $A=19\pm\sqrt{73}$, $B=9\mp\sqrt{73}$. Для каждого знака учитываем $uv=5\mp\sqrt{73}$: $u$ и $v$ имеют одинаковые знаки при положительном произведении и противоположные при отрицательном. Затем $x=(u+v)/2$, $y=(u-v)/2$, где $u=\pm\sqrt A$, $v=(24-A)/u$. Ответ: все пары $(x,y)=((u+v)/2,(u-v)/2)$, где $A=19\pm\sqrt{73}$, $u=\pm\sqrt A$, $v=(24-A)/u$.
Подставим $x=y+2$: $(y+2)^3-y^3=8$. После раскрытия скобок получаем $6y^2+12y=0$, то есть $6y(y+2)=0$. Поэтому $y=0$ или $y=-2$, соответственно $x=2$ или $x=0$. Ответ: $(2,0),(0,-2)$.

1.35. 1) \(\begin{cases}x^3+y^3=1,\\x+y=1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^2+xy=12,\\xy-y^2=2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^3-y^3=8,\\x-y=2.\end{cases}\)