1.32. 1) $\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\x+y=12;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=3,\\x+y=2.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.32. 1) $\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\x+y=12;\end{cases}$ 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Здесь $xy\ne0$, а первое уравнение равносильно $\dfrac{x^3+y^3}{xy}=18$. Используя $x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)$ и $x+y=12$, получаем $12(144-3xy)=18xy$, откуда $xy=32$. Следовательно, $x,y$ — корни $t^2-12t+32=0$: 4 и 8. Ответ: $(4,8),(8,4)$.
Аналогично, $\dfrac{2(4-3xy)}{xy}=3$, поэтому $xy=\dfrac89$. Тогда $x,y$ — корни $t^2-2t+\dfrac89=0$: $\dfrac23$ и $\dfrac43$. Ответ: $(\dfrac23,\dfrac43),(\dfrac43,\dfrac23)$.

1.32. 1) \(\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\x+y=12;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=3,\\x+y=2.\end{cases}\)