1.31. 1) $\begin{cases}2x^2-3xy-19y^2=25,\\x^2-6y^2=250;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}7x^2-6xy+12y^2=108,\\x^2-\dfrac56xy+\dfrac78y^2=18.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.31. 1) $\begin{cases}2x^2-3xy-19y^2=25,\\x^2-6y^2=250;\end{cases}$ 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Из второго уравнения $x^2=250+6y^2$. Подстановка в первое даёт $3xy+7y^2=475$. Если $y=0$, равенство невозможно. При $t=x/y$ уравнения приводятся к $19t^2-30t-184=0$, откуда $t=4$ или $t=-46/19$. Во втором случае из $x^2-6y^2=250$ получилось бы $y^2<0$, что невозможно. При $t=4$ имеем $y^2=25$, то есть $y=\pm5$ и $x=4y$. Ответ: $(20,5),(-20,-5)$.
Умножим второе уравнение на 24: $24x^2-20xy+21y^2=432$. Вычтем из него четыре первых уравнения: $-4x^2+4xy-27y^2=0$, или $4x^2-4xy+27y^2=0$. Левая часть положительна при любых $(x,y)\ne(0,0)$, а $(0,0)$ не удовлетворяет исходной системе. Ответ: действительных решений нет.

1.31. 1) \(\begin{cases}2x^2-3xy-19y^2=25,\\x^2-6y^2=250;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}7x^2-6xy+12y^2=108,\\x^2-\dfrac56xy+\dfrac78y^2=18.\end{cases}\)