1. 4sin^2x - 4 cosx - 1 = 0

Краткое пояснение:

Данное тригонометрическое уравнение решается путем преобразования синуса в косинус с использованием основного тригонометрического тождества \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). После этого уравнение сводится к квадратному относительно \( \cos x \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \).
   \( 4(1 - \cos^2 x) - 4 \cos x - 1 = 0 \)
2. Шаг 2: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
   \( 4 - 4\cos^2 x - 4\cos x - 1 = 0 \)
   \( -4\cos^2 x - 4\cos x + 3 = 0 \)
   \( 4\cos^2 x + 4\cos x - 3 = 0 \)
3. Шаг 3: Введем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Уравнение примет вид:
   \( 4y^2 + 4y - 3 = 0 \)
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 \).
   \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2(4)} = \frac{-4 \pm 8}{8} \)
5. Шаг 5: Найдем значения \( y \).
   \( y_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
   \( y_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \)
6. Шаг 6: Вернемся к замене \( y = \cos x \).
   \( \cos x = \frac{1}{2} \) или \( \cos x = -\frac{3}{2} \).
7. Шаг 7: Решим тригонометрические уравнения.
   \( \cos x = \frac{1}{2} \) имеет решения \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.
   \( \cos x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).