6. (cos 3x+cos x) / (1+sin x) = 0

Краткое пояснение:

Для решения данного уравнения, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Воспользуемся формулой суммы косинусов в числителе.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим условие, при котором дробь равна нулю: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
   \( \cos(3x) + \cos(x) = 0 \) и \( 1 + \sin(x)
   eq 0 \).
2. Шаг 2: Применим формулу суммы косинусов \( \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \> к числителю:
   \( 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 0 \)
   \( 2\cos(2x)\cos(x) = 0 \).
3. Шаг 3: Это означает, что \( \cos(2x) = 0 \) или \( \cos(x) = 0 \>.
4. Шаг 4: Решим уравнение \( \cos(2x) = 0 \>.
   \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \> (где \( k \) — любое целое число)
   \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \> .
5. Шаг 5: Решим уравнение \( \cos(x) = 0 \>.
   \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \> (где \( n \) — любое целое число).
6. Шаг 6: Теперь рассмотрим условие, что знаменатель не равен нулю: \( 1 + \sin(x)
   eq 0 \>.
   \( \sin(x)
   eq -1 \>.
   Это означает, что \( x
   eq \frac{3\pi}{2} + 2\pi m \> (где \( m \) — любое целое число).
7. Шаг 7: Проверим, попадают ли решения из Шага 4 и Шага 5 под условие из Шага 6.
8. Для \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \>:
• Если \( k=0 \>, \( x = \frac{\pi}{4} \>, \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  eq -1 \>.
• Если \( k=1 \>, \( x = \frac{3\pi}{4} \>, \( \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  eq -1 \>.
• Если \( k=2 \>, \( x = \frac{5\pi}{4} \>, \( \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
  eq -1 \>.
• Если \( k=3 \>, \( x = \frac{7\pi}{4} \>, \( \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
  eq -1 \>.
• Если \( k=4 \>, \( x = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \>, \( \sin(\frac{9\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  eq -1 \>.

Таким образом, решения из \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \> не противоречат условию.

9. Для \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \>:
• Если \( n=0 \>, \( x = \frac{\pi}{2} \>, \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1
  eq -1 \>.
• Если \( n=1 \>, \( x = \frac{3\pi}{2} \>, \( \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \>. Это значение не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.
• Если \( n=2 \>, \( x = \frac{5\pi}{2} \>, \( \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1
  eq -1 \>.

Следовательно, из решений \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \> нужно исключить те, где \( n \) является нечетным числом (т.е. \( n = 2m+1 \>). То есть \( x = \frac{\pi}{2} + (2m+1)\pi = \frac{\pi}{2} + 2m\pi + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2m\pi \>. Таким образом, остаются решения, где \( n \) — четное число, т.е. \( n=2m \>. Тогда \( x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \>.

10. Шаг 8: Объединим допустимые решения.
• \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \>
• \( x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \>

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \> и \( x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \>, где \( k, m \in \mathbb{Z} \).