5. sin x + sin 3x = sin 5x - sin x

Краткое пояснение:

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулами суммы и разности тригонометрических функций. Перегруппируем члены уравнения так, чтобы можно было применить эти формулы.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перенесем все члены в одну сторону: \( \sin x + \sin 3x - \sin 5x + \sin x = 0 \).
2. Шаг 2: Сгруппируем слагаемые: \( (\sin x + \sin x) + \sin 3x - \sin 5x = 0 \) \( 2\sin x + \sin 3x - \sin 5x = 0 \).
3. Шаг 3: Применим формулу суммы синусов \( \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \> для \( \sin 5x - \sin 3x \> (это проще, чем \sin 3x - \sin 5x \>):
   \( \sin 5x - \sin 3x = 2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 2\cos(4x)\sin(x) \).
4. Шаг 4: Подставим обратно в уравнение: \( 2\sin x - (2\cos(4x)\sin x) = 0 \).
5. Шаг 5: Вынесем общий множитель \( 2\sin x \> за скобки:
   \( 2\sin x (1 - \cos(4x)) = 0 \).
6. Шаг 6: Приравняем каждый множитель к нулю:
   \( 2\sin x = 0 \) или \( 1 - \cos(4x) = 0 \).
7. Шаг 7: Решим первое уравнение \( \sin x = 0 \>.
   Решения: \( x = \pi k \>, где \( k \) — любое целое число.
8. Шаг 8: Решим второе уравнение \( 1 - \cos(4x) = 0 \>, что равносильно \( \cos(4x) = 1 \>.
   Решения: \( 4x = 2\pi m \>, где \( m \) — любое целое число.
   \( x = \frac{2\pi m}{4} = \frac{\pi m}{2} \>, где \( m \) — любое целое число.
9. Шаг 9: Объединим решения. Заметим, что \( x = \pi k \> (т.е. \( x = 0,
   , 2
   , -
   , ... \> ) уже содержатся в решениях \( x = \frac{\pi m}{2} \> (т.е. \( x = 0,
   /2,
   , 3
   /2, 2
   , ... \> ). Поэтому общим решением будет \( x = \frac{\pi m}{2} \>.

Ответ: \( x = \frac{
m}{2} \>, где \( m \in \mathbb{Z} \).