4. 3sin^2x - 4 sin x cosx + cos^2x = 0

Краткое пояснение:

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предварительно убедившись, что \( \cos x
eq 0 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Проверим, может ли \( \cos x = 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), и \( \sin x =
   \). Подставим в уравнение:
   \( 3(
   )^2 - 4(
   )(0) + (0)^2 = 3 - 0 + 0 = 3
   0 \). Следовательно, \( \cos x
   eq 0 \).
2. Шаг 2: Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \>:
   \( \frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
3. Шаг 3: Упростим выражение, используя \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \>:
   \( 3\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0 \)
4. Шаг 4: Введем замену переменной: пусть \( y = \tan x \>. Уравнение примет вид:
   \( 3y^2 - 4y + 1 = 0 \)
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 \).
   \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 \pm 2}{6} \)
6. Шаг 6: Найдем значения \( y \>:
   \( y_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
   \( y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
7. Шаг 7: Вернемся к замене \( y = \tan x \>:
   \( \tan x = 1 \) или \( \tan x = \frac{1}{3} \).
8. Шаг 8: Найдем значения \( x \>:
   \( \tan x = 1 \) имеет решения \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \>, где \( k \) — любое целое число.
   \( \tan x = \frac{1}{3} \) имеет решения \( x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m \>, где \( m \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi m \>, где \( k, m \in \mathbb{Z} \).