1.5. \(\int\) \(\frac{\sqrt{x^5} + \sqrt{x^2} - 2\sqrt{x}}{x}\) dx

Решение:

Упростим числитель, используя свойства степеней:

\( \sqrt{x^5} = x^{5/2} \), \( \sqrt{x^2} = x \), \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)

Подставим в интеграл:

\( \int \frac{x^{5/2} + x - 2x^{1/2}}{x} dx \)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

\( \int \left( \frac{x^{5/2}}{x} + \frac{x}{x} - \frac{2x^{1/2}}{x} \right) dx = \int (x^{3/2} + 1 - 2x^{-1/2}) dx \)

Теперь проинтегрируем каждый член:

\( \int x^{3/2} dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2} \)

\( \int 1 dx = x \)

\( \int -2x^{-1/2} dx = -2 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = -2 \frac{x^{1/2}}{1/2} = -4x^{1/2} \)

Соберём всё вместе:

\( \frac{2}{5} x^{5/2} + x - 4x^{1/2} + C \)

Ответ: \( \frac{2}{5} x^{5/2} + x - 4x^{1/2} + C \).