1.57*. Докажите, что значение выражения не зависит от $n$: а) $12^{n+2}:12^{n+1}$; б) $\dfrac{3^{2n+6}\cdot3^{n+1}}{3^{3n-2}}$; в) $\dfrac{(5^{n-1})^2\cdot5^{3n+7}}{5^{5n+3}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.57*. Докажите, что значение выражения не зависит от $n$: а) $12^{n+2}:12^{n+1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$12^{n+2}:12^{n+1}=12^{(n+2)-(n+1)}=12^1=12$.

б) При умножении степеней показатели складываются, а при делении вычитаются:

$\dfrac{3^{2n+6}\cdot3^{n+1}}{3^{3n-2}}=3^{(2n+6)+(n+1)-(3n-2)}=3^{2n+7-3n+2}=3^9=19683$.

в) Сначала применим правило $(a^m)^k=a^{mk}$:

$\dfrac{(5^{n-1})^2\cdot5^{3n+7}}{5^{5n+3}}=5^{2(n-1)+3n+7-(5n+3)}=5^{2n-2+3n+7-5n-3}=5^2=25$.

Во всех случаях переменная $n$ сократилась, поэтому значения не зависят от $n$.

Ответ: а) $12$; б) $19683$; в) $25$.

1.57*. Докажите, что значение выражения не зависит от \(n\): а) \(12^{n+2}:12^{n+1}\); б) \(\dfrac{3^{2n+6}\cdot3^{n+1}}{3^{3n-2}}\); в) \(\dfrac{(5^{n-1})^2\cdot5^{3n+7}}{5^{5n+3}}\).