1.59*. Докажите, что значение выражения $2^n+2^{n+1}+2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном значении $n$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.59*. Докажите, что значение выражения $2^n+2^{n+1}+2^{n+2}$ кратно 14 при любом натуральном значении $n$.$ Фото задания

Accepted Answer

Вынесем за скобки общий множитель $2^n$:

$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=7\cdot2^n$.

При натуральном $n$ имеем $n\ge1$, поэтому $2^n=2\cdot2^{n-1}$.

Следовательно, $7\cdot2^n=14\cdot2^{n-1}$, то есть выражение делится на 14.

Ответ: выражение кратно 14 при любом натуральном $n$.

1.59*. Докажите, что значение выражения \(2^n+2^{n+1}+2^{n+2}\) кратно 14 при любом натуральном значении \(n\).