1. а) Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АOD равен 114°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах. б) Отрезки АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 56°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. в) Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах. г) На окружности отмечены точки А, В и С. Дуга окружности АС, не содержащая точку В, составляет 120 Дуга окружности ВС, не содержащая точку А, составляет 82°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте градусах. д) Угол АСО равен 27°, где О — центр окружности. Его сторона СА касается окружности. Сторона СО пересекает окружность в точке В (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги АВ окружности. Ответ дайте в градусах. е) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности с центром О, отрезок СО пересекает окружность в точке В (см. рис.), а дуга АВ окружности, заключённая внутри этого угла, равна 48°. Ответ дайте в градусах. ж) Угол АСО равен 28°. Его сторона СА касается окружности с центром в точке О. Сторон СО пересекает окружность в точках В и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Задание 1. Геометрические задачи с окружностью

а) Угол АОВ — центральный, угол АСВ — вписанный, опирающийся на ту же дугу АВ. Угол АОВ = 114°. Угол АСВ равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 114^\circ = 57^\circ \).

Ответ: 57°.

б) Угол АOD — центральный, угол АСВ — вписанный. Так как АС и BD — диаметры, то \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы. \( \angle AOD = \angle BOC \). Угол АСВ = 56°. Так как \( \angle ACB \) — вписанный, то градусная мера дуги АВ равна \( 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ \). Центральный угол АОВ равен дуге, на которую опирается, значит \( \angle AOD = 112^\circ \).

Ответ: 112°.

в) Дуга равна \( \frac{1}{5} \) окружности, что составляет \( \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ \). Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол равен \( \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ \).

Ответ: 36°.

г) Дуга АС (без В) = 120°, дуга ВС (без А) = 82°. Вся окружность 360°. Дуга АСВ = 360° - 120° = 240°. Дуга АВС = 360° - 82° = 278°. Дуга АВ = 360° - 120° - 82° = 158°. Вписанный угол АСВ опирается на дугу АВ. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга} AB = \frac{1}{2} \cdot 158^\circ = 79^\circ \).

Ответ: 79°.

д) Радиус ОА и СО. Угол АСО = 27°. СА касается окружности, значит, угол САО = 90°. В треугольнике АОС: \( \angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ \). СО пересекает окружность в точке В. Угол АОВ — центральный угол, который равен величине дуги АВ. \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \). Угол АСВ — вписанный. Но угол СО пересекает окружность в точке В. Угол АОВ — центральный угол. СА касается окружности, значит, \( \angle CAO = 90^\circ \). В \( \triangle AOC \): \( \angle AOC = 180^\cdot - 90^\cdot - 27^\cdot = 63^\cdot \). \( \angle AOB = 63^\cdot \). Угол АСВ - вписанный. ОА = ОВ (радиусы). \( \triangle AOB \) — равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\cdot - 63^\cdot}{2} = \frac{117^\cdot}{2} = 58.5^\cdot \). Угол АОВ — центральный, поэтому дуга АВ = 63°.

Ответ: 63°.

е) \( \angle ACO = \alpha \). СА касается окружности, \( \angle CAO = 90^\cdot \). \( \angle AOC = 180^\cdot - 90^\cdot - \alpha \). Дуга АВ = 48°. Центральный угол АОВ = 48°. \( \angle AOC = 90^\cdot - \alpha \). \( 48^\cdot = 180^\cdot - 90^\cdot - \alpha \). \( 48^\cdot = 90^\cdot - \alpha \). \( \alpha = 90^\cdot - 48^\cdot = 42^\cdot \). Значит, \( \angle ACO = 42^\cdot \).

Ответ: 42°.

ж) \( \angle ACO = 28^\cdot \). СА касается окружности, \( \angle CAO = 90^\cdot \). \( \angle AOC = 180^\cdot - 90^\cdot - 28^\cdot = 62^\cdot \). Дуга AD — это дуга, соответствующая центральному углу АOD. \( \angle AOD \) — это \( \angle AOC \) = 62°. Угол СО пересекает окружность в точках В и D. То есть \( \angle AOC \) = 62°. Дуга AD = 62°.

Ответ: 62°.