5. а) Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительни результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением

Задание 5. Вероятность (часть а)

Это задача на условную вероятность, но условие обрывается. Для полного решения необходимо знать, какой процент пациентов, поступающих с подозрением, на самом деле болен гепатитом.

Предположим, что 5% пациентов, поступающих с подозрением, действительно больны гепатитом. Тогда:

• Вероятность того, что пациент болен гепатитом (событие G): \( P(G) = 0.05 \).


• Вероятность того, что пациент здоров (событие H): \( P(H) = 1 - P(G) = 1 - 0.05 = 0.95 \).


• Вероятность положительного теста при наличии гепатита (чувствительность): \( P(+| G) = 0.9 \).


• Вероятность ложноположительного теста при отсутствии гепатита (1 - специфичность): \( P(+| H) = 0.01 \).

Нас интересует вероятность того, что пациент действительно болен гепатитом, если тест положительный, то есть \( P(G | +) \).

Воспользуемся формулой Байеса:

\[ P(G | +) = \frac{P(+| G) P(G)}{P(+)} \]

Сначала найдем полную вероятность положительного теста \( P(+) \):

\[ P(+) = P(+| G) P(G) + P(+| H) P(H) \]

\[ P(+) = (0.9 \cdot 0.05) + (0.01 \cdot 0.95) \]

\[ P(+) = 0.045 + 0.0095 = 0.0545 \]

Теперь подставим в формулу Байеса:

\[ P(G | +) = \frac{0.045}{0.0545} \approx 0.8257 \approx 0.83 \]

Вывод: Если тест положительный, вероятность того, что пациент действительно болен гепатитом, составляет примерно 83%.