39. На координатной плоскости изображены векторы а и Б. Найдите косинус угла между ними.

Задание 39. Косинус угла между векторами

Для нахождения косинуса угла между векторами используем формулу:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Найдем координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) по рисунку:

• \( \vec{a} = (2; 3) \)


• \( \vec{b} = (4; 1) \)

Найдем скалярное произведение векторов:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot 4) + (3 \cdot 1) = 8 + 3 = 11 \)

Найдем модули векторов:

• \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)


• \( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \)

Теперь найдем косинус угла между векторами:

\[ \cos \alpha = \frac{11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{13 \cdot 17}} = \frac{11}{\sqrt{221}} \]

Ответ: \( \frac{11}{\sqrt{221}} \).