39. На координатной плоскости изображены векторы а и Б. Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между векторами, воспользуемся формулой:

\( \cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \)

Сначала определим координаты векторов по графикам:

Вектор \( a \): начало в точке (0,0), конец в точке (1,1). Следовательно, \( \vec{a} = \langle 1, 1 \rangle \).

Вектор \( b \): начало в точке (0,0), конец в точке (2,1). Следовательно, \( \vec{b} = \langle 2, 1 \rangle \).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \):

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 2 + 1 = 3 \)

Найдем длины векторов \( a \) и \( b \):

\( |a| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)

\( |b| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

Подставим значения в формулу косинуса угла:

\( \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \):

\( \cos \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10} \)

Ответ: \( \frac{3 \sqrt{10}}{10} \).