3. а) Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная плоскости основания кону делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью. б) Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту оставить прежней? в) Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 4 раза, а радиус основания останется прежним? г) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Объём жидкости равен 1 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? д) Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. е) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20л, а высота равна 4. Найдите диаметр основания. ж) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12л, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра. 3) В цилиндрический сосуд налили 2800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите см³. и) В цилиндрический сосуд налили 500 см³ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите см³.

Задание 3. Задачи с конусами и цилиндрами

а) Площадь сечения конуса

Высота конуса H, площадь основания S = 48. Плоскость делит высоту на отрезки 4 и 12. Высота отсечённого конуса h = 4. Высота всего конуса H = 4 + 12 = 16.

Площадь сечения (S_sec) относится к площади основания (S) как квадрат отношения высот отсечённого конуса (h) к полному конусу (H):

\[ \frac{S_{sec}}{S} = \left(\frac{h}{H}\right)^2 \]

\[ \frac{S_{sec}}{48} = \left(\frac{4}{16}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]

\[ S_{sec} = 48 \cdot \frac{1}{16} = 3 \]

Ответ: 3.

б) Увеличение объёма конуса

Объём конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \). Если радиус увеличится в 8 раз (r' = 8r), а высота останется прежней (H' = H), то новый объём:

\[ V' = \frac{1}{3} \pi (8r)^2 H = \frac{1}{3} \pi (64r^2) H = 64 \cdot \left(\frac{1}{3} \pi r^2 H\right) = 64V \]

Объём увеличится в 64 раза.

Ответ: в 64 раза.

в) Уменьшение объёма конуса

Если высота уменьшится в 4 раза (h' = H/4), а радиус останется прежним (r' = r), то новый объём:

\[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{H}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{3} \pi r^2 H\right) = \frac{1}{4}V \]

Объём уменьшится в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

г) Доливка жидкости в конус

Уровень жидкости составляет 1/4 высоты. Объём жидкости \( V_{liquid} = 1 \) мл. Объем конуса относится к объему отсечённого конуса как куб отношения их высот:

\[ \frac{V_{total}}{V_{liquid}} = \left(\frac{H}{h_{liquid}}\right)^3 = \left(\frac{H}{H/4}\right)^3 = 4^3 = 64 \]

Общий объём конуса \( V_{total} = 64 \cdot V_{liquid} = 64 \cdot 1 = 64 \) мл.

Нужно долить: \( 64 - 1 = 63 \) мл.

Ответ: 63 мл.

д) Площадь полной поверхности отсечённого конуса

Сечение делит высоту в отношении 3:2. Высота отсечённого конуса \( h = 3 \), высота большего конуса \( H = 3 + 2 = 5 \). Коэффициент подобия \( k = \frac{h}{H} = \frac{3}{5} \).

Площадь полной поверхности отсечённого конуса \( S_{sec} \) относится к площади полной поверхности всего конуса \( S_{total} \) как квадрат коэффициента подобия:

\[ \frac{S_{sec}}{S_{total}} = k^2 \]

\[ \frac{S_{sec}}{35} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \]

\[ S_{sec} = 35 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 9}{5 \cdot 5} = \frac{63}{5} = 12.6 \]

Ответ: 12.6.

е) Диаметр основания цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2 \pi r H \). Известно \( S_{бок} = 20\pi \) и \( H = 4 \).

\[ 2 \pi r \cdot 4 = 20 \pi \]

\[ 8 \pi r = 20 \pi \]

\[ r = \frac{20 \pi}{8 \pi} = \frac{20}{8} = 2.5 \]

Диаметр основания \( d = 2r = 2 \cdot 2.5 = 5 \).

Ответ: 5.

ж) Высота цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = \pi d H \). Известно \( S_{бок} = 12\pi \) и \( d = 6 \).

\[ \pi \cdot 6 \cdot H = 12 \pi \]

\[ 6 \pi H = 12 \pi \]

\[ H = \frac{12 \pi}{6 \pi} = 2 \]

Ответ: 2.

з) Объём детали в цилиндрическом сосуде

Объём налитой воды \( V_{water} = 2800 \) см³. Уровень воды \( h_1 = 16 \) см.

Объём воды можно представить как \( V_{water} = \pi r^2 h_1 \).

После погружения детали уровень поднялся на \( \Delta h = 13 \) см. Новый уровень \( h_2 = 16 + 13 = 29 \) см.

Общий объём воды с деталью \( V_{total} = \pi r^2 h_2 \).

Объём детали равен разнице объёмов:

\[ V_{detail} = V_{total} - V_{water} = \pi r^2 h_2 - \pi r^2 h_1 = \pi r^2 (h_2 - h_1) \]

\[ V_{detail} = \pi r^2 \cdot 13 \]

Из объёма воды: \( 2800 = \pi r^2 \cdot 16 \implies \pi r^2 = \frac{2800}{16} = 175 \).

\[ V_{detail} = 175 \cdot 13 = 2275 \]

Ответ: 2275 см³.

и) Объём детали в цилиндрическом сосуде

Объём налитой воды \( V_{water} = 500 \) см³.

Уровень жидкости увеличился в 1.2 раза. Пусть начальный уровень \( h_1 \). Тогда новый уровень \( h_2 = 1.2 h_1 \).

Объём воды \( V_{water} = \pi r^2 h_1 \).

Объём воды с деталью \( V_{total} = \pi r^2 h_2 = \pi r^2 (1.2 h_1) = 1.2 (\pi r^2 h_1) = 1.2 V_{water} \).

\( V_{total} = 1.2 \cdot 500 = 600 \) см³.

Объём детали равен разнице объёмов:

\[ V_{detail} = V_{total} - V_{water} = 600 - 500 = 100 \]

Ответ: 100 см³.