41. На координатной плоскости изображены векторы а и Б. Найдите cosa, где угол между векторами а и b.

Задание 41. Косинус угла между векторами

Для нахождения косинуса угла между векторами используем формулу:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Найдем координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) по рисунку:

• \( \vec{a} = (1; 4) \)


• \( \vec{b} = (3; 2) \)

Найдем скалярное произведение векторов:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 3) + (4 \cdot 2) = 3 + 8 = 11 \)

Найдем модули векторов:

• \( |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \)


• \( |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)

Теперь найдем косинус угла между векторами:

\[ \cos \alpha = \frac{11}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{17 \cdot 13}} = \frac{11}{\sqrt{221}} \]

Ответ: \( \frac{11}{\sqrt{221}} \).