1. ABCD — прямоугольник. Докажите: BN = CM.

Пусть стороны прямоугольника равны AB = CD = h и AD = BC = w. Лучи BM и CN — биссектрисы прямых углов при B и C.

1. В прямоугольном треугольнике ABM угол при B равен 45°, поэтому AM = AB = h.
2. Аналогично в прямоугольном треугольнике CDN: DN = CD = h.
3. Так как AD = w, получаем MN = AD − AM − DN = w − 2h.
4. По теореме Пифагора: BM² = h² + h² = 2h². Кроме того, BN² = h² + (AM + MN)² = h² + (w − h)²; CM² = h² + (DN + MN)² = h² + (w − h)².

Следовательно, BN² = CM², а так как длины отрезков положительны, BN = CM.