(1 балл) Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см.

Решение:

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $$R$$ и сторона $$a$$ связаны соотношением: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Отсюда сторона $$a = R \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$$ см.

Площадь правильного треугольника находится по формуле: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$.

$$S = \frac{(5\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см².

Ответ: $$\frac{75\sqrt{3}}{4}$$ см²