(3 балла) Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF: при параллельном переносе на вектор DF; при симметрии относительно точки D; при симметрии относительно прямой EF.

Решение:

Для построения образа треугольника DEF необходимо иметь координаты его вершин. Так как координаты не заданы, построим пример. Пусть вершины треугольника DEF имеют следующие координаты:

• D(1, 1)
• E(5, 1)
• F(3, 4)

1. Параллельный перенос на вектор DF:

Вектор DF = F - D = (3-1; 4-1) = (2; 3).

Координаты вершин после переноса:

• D1 = D + DF = (1+2; 1+3) = (3; 4)
• E1 = E + DF = (5+2; 1+3) = (7; 4)
• F1 = F + DF = (3+2; 4+3) = (5; 7)

2. Симметрия относительно точки D:

Точка D является центром симметрии.

• D2 = D (1; 1)
• E2 = 2D - E = (2*1 - 5; 2*1 - 1) = (-3; 1)
• F2 = 2D - F = (2*1 - 3; 2*1 - 4) = (-1; -2)

3. Симметрия относительно прямой EF:

Прямая EF проходит через точки E(5, 1) и F(3, 4).

Уравнение прямой EF: $$y - 1 = \frac{4-1}{3-5}(x - 5) → y - 1 = \frac{3}{-2}(x - 5) → -2(y - 1) = 3(x - 5) → -2y + 2 = 3x - 15 → 3x + 2y - 17 = 0$$.

Для построения образа точки D(1,1) относительно прямой EF, найдем координаты середины отрезка DD3, которая лежит на прямой EF, и вектор DD3 перпендикулярен прямой EF.

Найдем проекцию точки D на прямую EF. Пусть D3(x; y) — образ точки D.

Уравнение прямой, перпендикулярной EF и проходящей через D: $$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 1) → 3(y - 1) = 2(x - 1) → 3y - 3 = 2x - 2 → 2x - 3y + 1 = 0$$.

Найдем точку пересечения прямых:

• $$3x + 2y = 17$$ (умножим на 3) $$→ 9x + 6y = 51$$
• $$2x - 3y = -1$$ (умножим на 2) $$→ 4x - 6y = -2$$
• Сложим уравнения: $$13x = 49 → x = \frac{49}{13}$$.
• $$2y = 17 - 3x = 17 - 3 \cdot \frac{49}{13} = 17 - \frac{147}{13} = \frac{221 - 147}{13} = \frac{74}{13} → y = \frac{37}{13}$$.

Точка пересечения M $$(\frac{49}{13}; \frac{37}{13})$$.

D3 = 2M - D = $$(2 · rac{49}{13} - 1; 2 · rac{37}{13} - 1) = (\frac{98}{13} - \frac{13}{13}; \frac{74}{13} - \frac{13}{13}) = (\frac{85}{13}; \frac{61}{13})$$.

Аналогично найдем образы точек E и F.

Примечание: Так как точные координаты вершин не были заданы, приведено общее описание методов решения. Для начертания конкретного треугольника и его образов потребуются числовые координаты вершин.