1. Через вершину A правильного треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная стороне BC, так, что сторона AC составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника ABC на плоскость α, если AB = 12 см.

Пусть β — плоскость треугольника ABC. Плоскости α и β пересекаются по прямой, параллельной BC. Угол между AC и этой прямой равен 60°.

Обозначим через θ угол между плоскостями α и β. Для угла φ между прямой AC и плоскостью α справедливо: sin φ = sin 60° · sin θ. Поэтому sin 30° = (√3/2) sin θ, откуда sin θ = 1/√3 и cos θ = √(2/3).

Медиана правильного треугольника со стороной 12 см равна AD = 6√3 см. При ортогональном проектировании отрезка AD на α его длина умножается на cos θ:

AD_пр = 6√3 · √(2/3) = 6√2 см.

Ответ: 6√2 см.