3. Правильные треугольники ABC и DBC расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями этих треугольников.

Пусть сторона треугольников равна a, а O — центр ABC, являющийся ортогональной проекцией D на плоскость ABC. Опустим в этой плоскости перпендикуляр из O на BC; его длина равна радиусу вписанной окружности правильного треугольника: OM = a√3/6.

В треугольнике DBC высота из D падает в середину BC. Обозначим середину через N. Тогда DN² = DB² − BN² = a² − (a/2)² = 3a²/4, то есть DN = a√3/2. В прямоугольном треугольнике DMN имеем DM² = DN² − MN² = 3a²/4 − a²/4 = a²/2, поэтому DM = a/√2.

Угол между плоскостями — угол между перпендикулярами к BC в этих плоскостях, то есть ∠OMD. Следовательно, tan ∠OMD = DM/OM = √6.

Ответ: arctan(√6) (примерно 67.8°).