1. Дан тетраэдр с вершинами A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 8; 0), D(2; 2; 10). Проверьте векторами, перпендикулярны ли друг другу три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер.

Question

Вопрос:

Фото задания

1. Дан тетраэдр с вершинами A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 8; 0), D(2; 2; 10). Проверьте векторами, перпендикулярны ли друг другу три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер.

Accepted Answer

Противоположные пары рёбер: AB и CD, AC и BD, AD и BC. Найдём середины этих рёбер:

M_AB = (1; 0; 0), M_CD = (2; 5; 5); M_AC = (1; 4; 0), M_BD = (2; 1; 5); M_AD = (1; 1; 5), M_BC = (2; 4; 0).

Направляющие векторы отрезков между серединами:

u = (1; 5; 5), v = (1; −3; 5), w = (1; 3; −5).

Проверим скалярные произведения: u·v = 1 − 15 + 25 = 11; u·w = 1 + 15 − 25 = −9; v·w = 1 − 9 − 25 = −33. Перпендикулярность требует, чтобы скалярное произведение было равно нулю.

Ответ: ни одна пара из трёх отрезков не перпендикулярна.