4. Имеется куб с координатами вершин A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2), B₁(2; 0; 2), C₁(2; 2; 2), D₁(0; 2; 2). Точка F лежит на диагонали B₁D и делит её в отношении B₁F : FD = 1 : 2. Найдите координаты F и расстояние FA. Что удивительного в полученном числе?

Так как B₁F : FD = 1 : 2, точка F находится на одной трети пути от B₁ к D. Следовательно, \(F=B_1+\frac13(D-B_1)=(2;0;2)+\frac13(−2;2;−2)=(\frac43;\frac23;\frac43)\).

Найдём расстояние от A(0; 0; 0) до F:

\(FA=\sqrt{(\frac43)^2+(\frac23)^2+(\frac43)^2}=\sqrt{\frac{36}{9}}=2\).

Ответ: F(4/3; 2/3; 4/3), FA = 2. Удивительно, что FA равно длине ребра куба.