5. Имеется куб с координатами вершин A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2), B₁(2; 0; 2), C₁(2; 2; 2), D₁(0; 2; 2). Дана точка N(4/3; 1/3; 2/3). Докажите, что она лежит на отрезке, соединяющем середину K ребра AB с серединой L ребра B₁C₁, и найдите отношение KN : NL.

Середина ребра AB имеет координаты \(K=(1;0;0)\), а середина ребра B₁C₁ — \(L=(2;1;2)\). Тогда \(\overrightarrow{KL}=(1;1;2)\), а \(\overrightarrow{KN}=(\frac13;\frac13;\frac23)=\frac13\overrightarrow{KL}\). Коэффициент лежит между 0 и 1, поэтому N принадлежит отрезку KL.

Поскольку \(\overrightarrow{KN}=\frac13\overrightarrow{KL}\), оставшаяся часть \(\overrightarrow{NL}\) составляет \(\frac23\overrightarrow{KL}\). Значит, \(KN:NL=1:2\).

Ответ: N лежит на отрезке KL; KN : NL = 1 : 2.