Доп. M — центр грани ADD₁A₁. Найдите косинус угла между прямыми BM и B₁M. (Координаты куба: A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2), B₁(2; 0; 2), C₁(2; 2; 2), D₁(0; 2; 2).)

Центр грани ADD₁A₁ — точка \(M=(0;1;1)\). Направляющие векторы прямых можно взять от M к B и B₁: \(\overrightarrow{MB}=(2;−1;−1)\), \(\overrightarrow{MB_1}=(2;−1;1)\).

Их скалярное произведение равно \(4+1−1=4\), а длина каждого вектора равна \(\sqrt6\). Поэтому косинус угла между прямыми равен \(\frac{4}{\sqrt6\sqrt6}=\frac23\).

Ответ: \(\cos\varphi=\frac23\).