3. Имеется куб с координатами вершин A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2), B₁(2; 0; 2), C₁(2; 2; 2), D₁(0; 2; 2). Докажите, что пространственная диагональ AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD.

Найдём векторы \(\overrightarrow{AC_1}=(2;2;2)\), \(\overrightarrow{A_1B}=(2;0;−2)\) и \(\overrightarrow{A_1D}=(0;2;−2)\). Векторы \(\overrightarrow{A_1B}\) и \(\overrightarrow{A_1D}\) неколлинеарны и лежат в плоскости A₁BD.

Проверим перпендикулярность диагонали двум направлениям этой плоскости: \((2;2;2)\cdot(2;0;−2)=4−4=0\), \((2;2;2)\cdot(0;2;−2)=4−4=0\). Следовательно, AC₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости A₁BD, а значит, перпендикулярна этой плоскости.