1. Даны векторы: а(2;2;-7), 6 (5;-4; г). При каких значениях z ab=-6, ab=7, а ⊥ b?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов a и b находится по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

По условию, \[ \vec{a} = (2; 2; -7) \] и \[ \vec{b} = (5; -4; z) \]

Следовательно, \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 + 2 \cdot (-4) + (-7) \cdot z \]

Развернем скобки: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 10 - 8 - 7z \]

Упростим: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 7z \]

2. Условие перпендикулярности векторов (a ⊥ b)

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

Подставляем найденное выражение для скалярного произведения: \[ 2 - 7z = 0 \]

Решаем уравнение относительно z: \[ -7z = -2 \] \[ z = \frac{-2}{-7} \] \[ z = \frac{2}{7} \]

3. Условие скалярного произведения (ab = -6 и ab = 7)

Условие \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 \] означает, что \[ 2 - 7z = -6 \] Решаем уравнение относительно z: \[ -7z = -6 - 2 \] \[ -7z = -8 \] \[ z = \frac{-8}{-7} \] \[ z = \frac{8}{7} \]

Условие \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \] означает, что \[ 2 - 7z = 7 \] Решаем уравнение относительно z: \[ -7z = 7 - 2 \] \[ -7z = 5 \] \[ z = \frac{5}{-7} \] \[ z = -\frac{5}{7} \]

4. Условие коллинеарности векторов

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это значит, что существует такое число k, что \[ \vec{a} = k \vec{b} \]

То есть: \[ a_x = k b_x \] \[ a_y = k b_y \] \[ a_z = k b_z \]

Подставляем значения координат: \[ 2 = k \cdot 5 \implies k = \frac{2}{5} \] \[ 2 = k \cdot (-4) \implies k = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \] \[ -7 = k \cdot z \]

Мы получили два разных значения для k ( \[ \frac{2}{5} \] и \[ -\frac{1}{2} \]). Это означает, что векторы \[ \vec{a} \] и \[ \vec{b} \] не могут быть коллинеарны при любых значениях z, если их первые две координаты не пропорциональны.

Примечание: Иногда под ab=7 подразумевается длина вектора, а не скалярное произведение. Если бы это была длина вектора, то \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4+4+49} = \sqrt{57} \] и \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + z^2} = \sqrt{25+16+z^2} = \sqrt{41+z^2} \]

Тогда \[ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \sqrt{57} \cdot \sqrt{41+z^2} = 7 \]

Возведем обе стороны в квадрат: \[ 57 \cdot (41+z^2) = 49 \] \[ 2337 + 57z^2 = 49 \] \[ 57z^2 = 49 - 2337 \] \[ 57z^2 = -2288 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итоговые значения z:

• Для a ⊥ b: \[ z = \frac{2}{7} \]
• Для ab = -6: \[ z = \frac{8}{7} \]
• Для ab = 7: \[ z = -\frac{5}{7} \]
• Векторы не коллинеарны при любых z.