4. Даны векторы: а(10; у;-9), 6 (3;-7; г). При каких значениях неизвестных векторы коллинеарны?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Записываем координаты векторов

Даны векторы: \[ \vec{a} = (10; y; -9) \] \[ \vec{b} = (3; -7; z) \]

2. Условие коллинеарности

Для коллинеарности векторов \[ \vec{a} \] и \[ \vec{b} \] их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

\[ \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} = k \] Где \[ k \] — некоторый коэффициент пропорциональности.

Подставляем значения координат: \[ \frac{10}{3} = \frac{y}{-7} = \frac{-9}{z} \]

3. Находим значение 'y'

Приравниваем первую и вторую части равенства:

\[ \frac{10}{3} = \frac{y}{-7} \]

Чтобы найти \[ y \], умножим обе части на -7:

\[ y = \frac{10}{3} \cdot (-7) \] \[ y = -\frac{70}{3} \]

4. Находим значение 'z'

Приравниваем первую и третью части равенства:

\[ \frac{10}{3} = \frac{-9}{z} \]

Чтобы найти \[ z \], можем перекрестно умножить:

\[ 10 \cdot z = 3 \cdot (-9) \] \[ 10z = -27 \] \[ z = -\frac{27}{10} \]

5. Проверка (необязательно, но полезно)

Убедимся, что при найденных значениях \[ y = -\frac{70}{3} \] и \[ z = -\frac{27}{10} \] пропорциональность сохраняется:

\[ \frac{10}{3} = \frac{-70/3}{-7} = \frac{-9}{-27/10} \] Проверим второе равенство: \[ \frac{-70/3}{-7} = \frac{-70}{3} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{70}{21} = \frac{10}{3} \] Проверим третье равенство: \[ \frac{-9}{-27/10} = -9 \cdot \left(-\frac{10}{27}\right) = \frac{90}{27} = \frac{10}{3} \] Все три части равенства равны \[ \frac{10}{3} \].

Вывод:

Векторы \[ \vec{a} \] и \[ \vec{b} \] коллинеарны при следующих значениях неизвестных:

\[ y = -\frac{70}{3} \] \[ z = -\frac{27}{10} \]