2. Даны точки A(1;-1;3), B(3;-1;1), C(-1;1;3). Найдите периметр треугольника АВС и его медианы.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим длины сторон треугольника:

Длина отрезка между двумя точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \)

AB:

\( AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-(-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

BC:

\( BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (1-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \)

AC:

\( AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-(-1))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

2. Находим периметр треугольника:

Периметр (P) = AB + BC + AC

P = \( 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)

3. Находим координаты середин сторон:

Координаты середины отрезка (x, y, z) между точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) вычисляются по формуле: \( M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}) \)

Середина стороны BC (точка D):

\( D = (\frac{3+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{1+3}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{4}{2}) = (1, 0, 2) \)

Середина стороны AC (точка E):

\( E = (\frac{1+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{3+3}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}, \frac{6}{2}) = (0, 0, 3) \)

Середина стороны AB (точка F):

\( F = (\frac{1+3}{2}, \frac{-1+(-1)}{2}, \frac{3+1}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (2, -1, 2) \)

4. Находим длины медиан:

Медиана AD:

\( AD = \sqrt{(1-1)^2 + (0-(-1))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \)

Медиана BE:

\( BE = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \)

Медиана CF:

\( CF = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-1-1)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \)

Ответ:

Периметр треугольника ABC равен \( 4\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \).

Длины медиан равны \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{14} \), \( \sqrt{14} \).