6. Даны точки М(1;3;0), N(2;3;-1), P(1;2;-1). Найти угол между РМ и PN.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Находим векторы PM и PN

Координаты вектора находятся как разность координат конечной и начальной точек.

Вектор \[ \vec{PM} \] (от P к M): \[ \vec{PM} = M - P = (1-1; 3-2; 0-(-1)) = (0; 1; 1) \] Вектор \[ \vec{PN} \] (от P к N): \[ \vec{PN} = N - P = (2-1; 3-2; -1-(-1)) = (1; 1; 0) \]

2. Вычисляем скалярное произведение векторов PM и PN

Скалярное произведение векторов \[ \vec{a} = (a_x; a_y; a_z) \] и \[ \vec{b} = (b_x; b_y; b_z) \] находится по формуле:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] Для векторов \[ \vec{PM} \] и \[ \vec{PN} \]: \[ \vec{PM} \cdot \vec{PN} = (0) \cdot (1) + (1) \cdot (1) + (1) \cdot (0) \] \[ \vec{PM} \cdot \vec{PN} = 0 + 1 + 0 \] \[ \vec{PM} \cdot \vec{PN} = 1 \]

3. Вычисляем длины векторов PM и PN

Длина вектора \[ \vec{a} = (a_x; a_y; a_z) \] находится по формуле:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \] Длина вектора \[ \vec{PM} \]: \[ |\vec{PM}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Длина вектора \[ \vec{PN} \]: \[ |\vec{PN}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \]

4. Находим угол между векторами

Косинус угла \[ \theta \] между двумя векторами находится по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] Подставляем найденные значения: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] Чтобы найти угол \[ \theta \], возьмем арккосинус от \[ \frac{1}{2} \]: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \] Известно, что \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \]. Следовательно, \[ \theta = 60^{\circ} \]

Вывод:

Угол между векторами \[ \vec{PM} \] и \[ \vec{PN} \] равен \[ 60^{\circ} \].