3. Компланарны ли векторы: а(-1;5;9), 6 (4;-7,3), с(1;2;-2)?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Записываем координаты векторов

Даны векторы: \[ \vec{a} = (-1; 5; 9) \] \[ \vec{b} = (4; -7; 3) \] \[ \vec{c} = (1; 2; -2) \]

2. Вычисляем смешанное произведение векторов

Смешанное произведение трех векторов \[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \] вычисляется как определитель матрицы, где строки (или столбцы) — это координаты векторов:

\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 4 & -7 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]

3. Раскрываем определитель

Используем правило Саррюса или разложение по первой строке:

\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -7 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 9 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] Вычисляем определители 2x2: \[ \begin{vmatrix} -7 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = (-7) \cdot (-2) - 3 \cdot 2 = 14 - 6 = 8 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -8 - 3 = -11 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - (-7) \cdot 1 = 8 + 7 = 15 \] Подставляем значения обратно в выражение для смешанного произведения: \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = -1 \cdot (8) - 5 \cdot (-11) + 9 \cdot (15) \] \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = -8 + 55 + 135 \] \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 47 + 135 \] \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 182 \]

4. Вывод

Поскольку смешанное произведение векторов \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 182 \] не равно нулю, векторы \[ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \] не являются компланарными.