1. Диагональ AC ромба ABCD равна 16, а tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому треугольник BCO прямоугольный.

Положим x = OC = AC/2 = 8. Тогда BO = x · tg BCA = 8 · 0,75 = 6. Сторона ромба равна BC = √(8² + 6²) = 10.

Площадь ромба S = AC · BO = 16 · 6 = 96, а полупериметр p = 2 · 10 = 20. Радиус вписанной окружности r = S/p = 96/20 = 24/5 = 4,8.

Ответ: 4,8.