3. Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда OC = AC/2 = 15. Из прямоугольного треугольника BCO: BO = OC · tg BCA = 15 · 4/3 = 20.

Сторона ромба BC = √(15² + 20²) = 25. Площадь S = AC · BO = 30 · 20 = 600, полупериметр p = 2 · 25 = 50.

Радиус вписанной окружности r = S/p = 600/50 = 12.

Ответ: 12.