1. Докажите неравенство (b - 3)² > b(b-6). Известно, что 1 < a < 5 и 2 < b < 6. Оцените значение выражения: 1) 4a + b; 2) ab; 3) a - b.

Решение:

1. Доказательство неравенства:

   Раскроем скобки в левой части:

   \[ (b - 3)^2 = b^2 - 6b + 9 \]

   Теперь сравним с правой частью:

   \[ b^2 - 6b + 9 > b(b-6) \]

   \[ b^2 - 6b + 9 > b^2 - 6b \]

   Вычтем $$b^2 - 6b$$ из обеих частей:

   \[ 9 > 0 \]

   Это неравенство верно. Следовательно, исходное неравенство (b - 3)² > b(b-6) доказано.

2. Оценка значений выражений:

   Известно, что $$1 < a < 5$$ и $$2 < b < 6$$.

   1. Оценка 4a + b:

      Умножим первую часть неравенства для 'a' на 4:

      \[ 4 × 1 < 4a < 4 × 5 \]

      \[ 4 < 4a < 20 \]

      Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для 'b':

      \[ 4 + 2 < 4a + b < 20 + 6 \]

      \[ 6 < 4a + b < 26 \]

   2. Оценка ab:

      Умножим неравенства для 'a' и 'b':

      \[ 1 × 2 < ab < 5 × 6 \]

      \[ 2 < ab < 30 \]

   3. Оценка a - b:

      Умножим второе неравенство на -1, изменив знаки:

      \[ -6 < -b < -2 \]

      Сложим неравенство для 'a' с новым неравенством для '-b':

      \[ 1 + (-6) < a - b < 5 + (-2) \]

      \[ -5 < a - b < 3 \]

Ответ:

• Неравенство (b - 3)² > b(b-6) доказано.
• 1) $$6 < 4a + b < 26$$
• 2) $$2 < ab < 30$$
• 3) $$-5 < a - b < 3$$