6. Найдите целые решения системы неравенств: { (x + 2)(x + 3) - x(x + 1) \(\ge\) 3x + 3; 5x - 3 < 2x + 1. }

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство: $$(x + 2)(x + 3) - x(x + 1) \ge 3x + 3$$

   Раскроем скобки:

   \[ (x^2 + 3x + 2x + 6) - (x^2 + x) \ge 3x + 3 \]

   \[ x^2 + 5x + 6 - x^2 - x \ge 3x + 3 \]

   Упростим левую часть:

   \[ 4x + 6 \ge 3x + 3 \]

   Перенесем члены с 'x' в левую часть, а числа — в правую:

   \[ 4x - 3x \ge 3 - 6 \]

   \[ x \ge -3 \]

2. Второе неравенство: $$5x - 3 < 2x + 1$$

   Перенесем члены с 'x' в левую часть, а числа — в правую:

   \[ 5x - 2x < 1 + 3 \]

   \[ 3x < 4 \]

   Разделим на 3:

   \[ x < \frac{4}{3} \]

Теперь нам нужно найти целые числа, которые удовлетворяют обоим условиям:

\[ x \ge -3 \]

\[ x < \frac{4}{3} \]

Запишем это в виде двойного неравенства:

\[ -3 \le x < \frac{4}{3} \]

Поскольку $$\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$, то целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: Целые решения системы неравенств: -3, -2, -1, 0, 1.