1) $$f(x) = x^3 - x^2 - x$$

Решение:

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = (x^3 - x^2 - x)' = 3x^2 - 2x - 1 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).
4. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} \]
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 \) (возрастание).
   • При \( -\frac{1}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \) (убывание).
   • При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 \) (возрастание).
6. Интервалы возрастания: \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \cup [1; +\infty) \).
7. Интервалы убывания: \( \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \).
8. Точки экстремума:
   • \( x = -\frac{1}{3} \) — точка максимума.
   • \( x = 1 \) — точка минимума.
9. Найдем значения функции в точках экстремума:
   • \( f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{-1 - 3 + 9}{27} = \frac{5}{27} \).
   • \( f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 \).

Ответ: Промежутки возрастания: \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \cup [1; +\infty) \). Промежутки убывания: \( \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \). Точка максимума \( x = -\frac{1}{3} \), \( y = \frac{5}{27} \). Точка минимума \( x = 1 \), \( y = -1 \).