Докажите, что функция $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20$$ возрастает на множестве действительных чисел. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Решение:

Чтобы доказать, что функция возрастает на всей числовой оси, нужно найти её производную и показать, что она неотрицательна.

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20 \right)' = x^2 - 4x + 6 \]
2. Рассмотрим квадратный трёхчлен \( f'(x) = x^2 - 4x + 6 \). Чтобы определить знак производной, найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 \).
3. Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)) и коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 1 > 0 \)), то парабола \( y = x^2 - 4x + 6 \) всегда находится выше оси абсцисс. Следовательно, \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
4. Так как производная \( f'(x) \) положительна на всей числовой оси, функция \( f(x) \) возрастает на \( \mathbb{R} \).
5. Промежутки возрастания: \( (-\infty; +\infty) \).
6. Промежутки убывания: отсутствуют.
7. Точки экстремума: отсутствуют.

Ответ: Функция возрастает на \( \mathbb{R} \). Промежутки возрастания: \( (-\infty; +\infty) \). Точек экстремума нет.