Исследуйте функцию $$f(x) = 2x^2 - x^4$$ и постройте её график.

Исследование функции $$f(x) = 2x^2 - x^4$$:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \in \mathbb{R} \).
2. Четность/нечетность: \( f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x) \). Функция чётная, её график симметричен относительно оси OY.
3. Точки пересечения с осями:
   • С осью OY: \( f(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0 \). Точка (0, 0).
   • С осью OX: \( 2x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(2 - x^2) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) (кратность 2), \( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \). Точки \( (-\sqrt{2}, 0) \), \( (0, 0) \), \( (\sqrt{2}, 0) \).
4. Производная и точки экстремума:
   • \( f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2) \)
   • Критические точки: \( 4x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( 1 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \).
   • Определим знаки производной:
     • \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(1 - 4) = -8(-3) = 24 > 0 \) (возрастание).
     • \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( f'(-0.5) = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(1 - 0.25) = -2(0.75) = -1.5 < 0 \) (убывание).
     • \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \( f'(0.5) = 4(0.5)(1 - (0.5)^2) = 2(1 - 0.25) = 2(0.75) = 1.5 > 0 \) (возрастание).
     • \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 4(2)(1 - 2^2) = 8(1 - 4) = 8(-3) = -24 < 0 \) (убывание).
   • Интервалы возрастания: \( (-\infty; -1] \cup [0; 1] \).
   • Интервалы убывания: \( [-1; 0] \cup [1; +\infty) \).
   • Точки экстремума:
     • \( x = -1 \) — точка минимума. \( f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 2 - 1 = 1 \).
     • \( x = 0 \) — точка максимума. \( f(0) = 0 \).
     • \( x = 1 \) — точка минимума. \( f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 2 - 1 = 1 \).
5. Вторая производная и точки перегиба:
   • \( f''(x) = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2 \)
   • Критические точки для второй производной: \( 4 - 12x^2 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \).
   • Определим знаки второй производной:
     • \( x < -\frac{1}{\sqrt{3}} \) (например, \( x = -1 \)): \( f''(-1) = 4 - 12(-1)^2 = 4 - 12 = -8 < 0 \) (выпуклость вверх).
     • \( -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}} \) (например, \( x = 0 \)): \( f''(0) = 4 - 12(0)^2 = 4 > 0 \) (выпуклость вниз).
     • \( x > \frac{1}{\sqrt{3}} \) (например, \( x = 1 \)): \( f''(1) = 4 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 < 0 \) (выпуклость вверх).
   • Интервалы выпуклости вверх: \( \left(-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{3}}; +\infty\right) \).
   • Интервалы выпуклости вниз: \( \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).
   • Точки перегиба: \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) и \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
   • Значения функции в точках перегиба: \( f\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{9}\right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6-1}{9} = \frac{5}{9} \).
6. Асимптоты: Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси и является многочленом.
7. Сводная таблица:

   Интервал	\((-\infty; -1)\)	\(-1\)	\((-1; 0)\)	\(0\)	\((0; 1)\)	\(1\)	\((1; \sqrt{2})\)	\(\sqrt{2}\)	\((\sqrt{2}; +\infty)\)
   \(f'(x)\)	+	0	-	0	+	0	-		-
   \(f(x)\)	↗	\(1\) (мин)	↘	\(0\) (max)	↗	\(1\) (мин)	↘	\(0\)	↘
   \(f''(x)\)	-		+		+		-		-
   \(f(x)\)	Выпукл. вверх		Выпукл. вниз		Выпукл. вниз		Выпукл. вверх		Выпукл. вверх

График функции $$f(x) = 2x^2 - x^4$$:

Примечание: График построен с использованием Chart.js. Точки \(\pm\sqrt{2}\) приблизительно равны \(\pm 1.732\).