2) $$f(x) = x\sqrt{12-x}$$

Решение:

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 12 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 12 \). Область определения: \( (-\infty; 12] \).

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \( f'(x) = (x)' \sqrt{12-x} + x \left(\sqrt{12-x}\right)' = 1 \cdot \sqrt{12-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{12-x}} \cdot (-1) = \sqrt{12-x} - \frac{x}{2\sqrt{12-x}} \)
2. Приведем к общему знаменателю: \[ f'(x) = \frac{2(12-x) - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 2x - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12-x}} \]
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12-x}} = 0 \] \( 24 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8 \)
4. Критическая точка \( x = 8 \) входит в область определения. Также нужно учесть границу области определения \( x = 12 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = \frac{24 - 0}{2\sqrt{12}} > 0 \) (возрастание).
   • При \( 8 < x < 12 \) (например, \( x = 10 \)): \( f'(10) = \frac{24 - 30}{2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{2}} < 0 \) (убывание).
6. Интервалы возрастания: \( (-\infty; 8] \).
7. Интервалы убывания: \( [8; 12] \).
8. Точки экстремума: \( x = 8 \) — точка максимума.
9. Найдем значение функции в точке максимума: \( f(8) = 8\sqrt{12-8} = 8\sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16 \).
10. Проверим значение на границе области определения: \( f(12) = 12\sqrt{12-12} = 12\sqrt{0} = 0 \).

Ответ: Промежутки возрастания: \( (-\infty; 8] \). Промежутки убывания: \( [8; 12] \). Точка максимума \( x = 8 \), \( y = 16 \).