3) $$f(x) = x - \sqrt{2}\sin x$$

Решение:

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = (x - \sqrt{2}\sin x)' = 1 - \sqrt{2}\cos x \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ 1 - \sqrt{2}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
3. Решениями этого уравнения являются \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
4. Определим знаки производной на интервалах. Производная \( f'(x) = 1 - \sqrt{2}\cos x \) меняет знак в точках, где \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
5. Рассмотрим поведение \( \cos x \):
   • Когда \( \cos x < \frac{1}{\sqrt{2}} \) (например, \( x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}) \)), то \( \sqrt{2}\cos x < 1 \), следовательно \( f'(x) = 1 - \sqrt{2}\cos x > 0 \) (возрастание).
   • Когда \( \cos x > \frac{1}{\sqrt{2}} \) (например, \( x \in (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}) \)), то \( \sqrt{2}\cos x > 1 \), следовательно \( f'(x) = 1 - \sqrt{2}\cos x < 0 \) (убывание).
6. Интервалы возрастания: \( \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right] \) для \( n \in \mathbb{Z} \).
7. Интервалы убывания: \( \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right] \) для \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Точки экстремума:
   • \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) — точки минимума.
   • \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{7\pi}{4} + 2\pi (n-1) \) — точки максимума.

Ответ: Промежутки возрастания: \( \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right] \), \( n \in \mathbb{Z} \). Промежутки убывания: \( \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right] \), \( n \in \mathbb{Z} \). Точки минимума \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \). Точки максимума \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).